Нахождение диапазона функции: 3 метода (с примерами)

Описание изображения

Вид на пустую аудиторию колледжа с задней стороны.

Для любого человека, заинтересованного в карьере математика или человека, который использует математику, например, в бизнесе, важно уметь четко объяснять формулы и решения. В случае нахождения диапазона функции, вы можете найти это значение несколькими способами. Умение объяснить эти методы может оказаться полезным по мере развития ваших математических и коммуникативных навыков.

В этой статье мы дадим определение математического диапазона, области и функции, а затем расскажем, как найти диапазон функции с помощью формулы, графика и отношения.

Основные выводы:

• В математике функция представляет собой определенную связь между независимой переменной (x) и зависимой переменной (y).

• Диапазон функции относится ко всем возможным значениям y.

• Формула для нахождения диапазона функции: y = f(x). Отношение является функцией только в том случае, если каждому значению x соответствует только одно значение y.

Что такое функция?

Функция - это прикладной математический термин, используемый для описания взаимосвязи между двумя переменными. В формуле вы можете представить функцию в виде:

y = f(x)

В этой формуле y является функцией x, то есть при изменении значения x изменяется и значение y (или диапазон, или зависимая переменная). Например:

Если x равен 2 в уравнении y = x -1, то значение y равно 1: y = 2-1

Но если x имеет значение 10, то y также изменится - до 9, или y=10-1

Что такое диапазон функции?

Значения переменных меняются, что можно представить в виде набора значений, называемых областью и диапазоном функции:

• Домен: Область функции - это набор чисел, представляющих все значения, которые может иметь x.

• Диапазон: Диапазон - это набор чисел, которые представляют все потенциальные значения, которые y может иметь на основе функции.

3 способа найти диапазон функции

Для x в упорядоченной паре (x, y) может соответствовать только одно значение y. Для y, однако, существует больше возможностей. Нахождение диапазона функции означает нахождение всех возможных значений, которые может иметь y в зависимости от x. Вы можете найти диапазон функции тремя способами: формула, график или зависимость.

1. Нахождение диапазона функции с помощью формулы

Формула может представлять, как переменная x взаимодействует с переменной y. Эти формулы могут выглядеть по-разному в зависимости от того, какое взаимодействие имеют значения. Ниже приведены шаги, которые можно использовать для алгебраического нахождения диапазона функции:

1. Запишите формулу

Запись формулы - где y = f(x)- может помочь вам определить некоторые аспекты связи между двумя переменными.

Пример: Если вы продаете журналы по 10 долларов за штуку, то ваш общий объем продаж, f(x), равен количеству проданных журналов, x, умноженному на 10. Итак, формула f(x) = 10(x). Если вы продаете ноль, 2, 4 или 10 журналов, то ваши общие продажи составляют $0, $20, $40 и $100.

2. Найдите другие пары координат

Если применить формулу y = f(x), то она показывает положительную зависимость между x и y для всех журналов продаж. Чтобы перепроверить эту информацию, вы можете нарисовать переменные в виде упорядоченных пар на графике. Полученный график является линейным и имеет тенденцию к росту. Это подтверждает вывод о том, что функция положительна.

3. Напишите диапазон

Зная, что вы не можете продавать отрицательные журналы, вы можете определить, что диапазон функции никогда не бывает меньше нуля. Поскольку вы всегда можете продать больше журналов, вы знаете, что диапазон может постоянно увеличиваться на интервалы в 10 раз. Таким образом, вы можете записать диапазон функции в виде эквивалентности.

В данном примере диапазон f(x) = все кратные 10 ? 0.

2. Нахождение диапазона функции с помощью графика

График может обеспечить визуальное представление формы, которую принимает функция, позволяя увидеть, как координаты y взаимодействуют с координатами x. Вот шаги для нахождения диапазона функции с помощью графика:

1. Нарисуйте функцию на графике

Чтобы найти диапазон функции на графике, отметьте (или постройте) координаты области (x) и диапазона (y) на листе бумаги с помощью маленьких точек. Это поможет вам увидеть форму функции. Вы можете увидеть прямую линию, изогнутую линию в форме u или n или что-то похожее на волны.

При построении графика перемещайтесь влево или вправо по оси x, в зависимости от того, отрицательна или положительна координата x. Затем вы двигаетесь вверх или вниз по оси y, в зависимости от того, положительна или отрицательна координата y.

После завершения работы проследите за формой графика. Например, если вы нарисуете координаты {(2, 1), (3, 2), (4, 3)}, то они образуют прямую линию, которая идет вверх (1, 2, 3).

2. Найдите минимум функции

Как только вы получите функцию в виде графика, вы сможете увидеть важные особенности, например, минимум. Это самая низкая точка, которую функция достигает визуально. Минимум может быть бесконечным, то есть график неограниченно расширяется вниз. Если это так, то нижний конец диапазона может быть представлен символом бесконечности (?).

3. Найдите максимум функции

Максимум - это наивысшая точка, которую функция достигает визуально. Как и минимум, это число может быть бесконечным. Это также может быть конкретное место на графике, которое можно записать в виде упорядоченной пары. Например, если максимум находится при 3 на оси x и 10 на оси y, то его координаты будут (3, 10).

4. Запишите диапазон в виде эквивалентности

Иногда невозможно написать каждую y-координату функции. Здесь вы можете указать диапазон как эквивалентность, используя символ меньше, чем (<), символ больше чем (>), меньше или равно символу (?) или символ больше или равно (?).

Пример: Для диапазона {-1, 1, 2, 3} вы можете использовать утверждение как:

-1 ? f(x) ? 3

Если ваш диапазон функции имеет бесконечную составляющую, например {-?, 10}, вы можете записать эквивалентность как:

f(x) ? 10

3. Нахождение диапазона функции с помощью отношения

Третий способ найти диапазон функции - записать ее в виде отношения. Отношение - это набор упорядоченных пар, представляющих координаты на графике. Вы можете записать пары отношения в форме (x, y). Ниже описаны шаги, которые можно использовать для нахождения диапазона функции, записанной в виде отношения:

1. Напишите отношение

Когда вы видите набор упорядоченных пар (x, y), вам может быть проще работать с отношением после того, как вы запишете пары на бумаге. Запишите весь набор в фигурных скобках. Например:

{(2, 1), (4, 5), (9, 21) (7, 14), (5, 14)}

2. Составьте список y-координат отношения

Вы можете перечислить y-координаты отношения, взяв второе число из каждой пары координат и записав их в фигурных скобках. Это поможет вам легче представить диапазон значений y.

Это также поможет вам сократить объем информации, с которой вы работаете при нахождении диапазона, или y. Используя приведенный выше пример, вы бы записали y-координаты как:

{1, 5, 21, 14, 14}

3. Удалите все дублирующиеся числа

В этом наборе отношений число 14 встречается дважды. Для нахождения диапазона функции второе 14 не имеет значения, поэтому его можно убрать. Вы можете записать новый список y-координат в виде:

{1, 5, 21, 14}

4. Напишите диапазон от наименьшего до наибольшего

Поскольку числа расположены не по порядку, трудно определить диапазон. Вы можете изменить порядок чисел, чтобы облегчить определение диапазона. Упорядоченный от наименьшего к наибольшему, набор y-координат отношения является таковым:

{1, 5, 14, 21}

Как только вы измените порядок чисел, вы получите диапазон функции с помощью отношения. Итак, для набора отношений:

{(2, 1), (4, 5), (9, 21) (7, 14), (5, 14)}

Диапазон после вычитания:

{1, 5, 14, 21}

5. Убедитесь, что отношение является функцией

Проверив, что каждое значение x дает одно и то же число y, вы можете подтвердить, что отношение является функцией. Отношение является функцией, только если каждому значению x соответствует только одно значение y.

Пример: Если вы вводите x как 2 и получаете на выходе 4, но в следующий раз, когда вы вводите x как 2, вы получаете на выходе 7, то это отношение не является функцией. Если вы каждый раз получаете одно и то же число, то отношение является функцией.

Для примера набора отношений {(2, 1), (4, 5), (9, 21) (7, 14), (5, 14)}, значения x 2, 4, 9, 7 и 5 имеют только одно связанное выходное число каждое, и поэтому это функция, а найденный диапазон функции проверяется.