Срочный договор без трудовой книжки... Возможно ли?

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, решить вопрос. Постоянно оформлена в одной фирме, но из-за простоя, вынуждена была уйти в отпуск без сохранения заработной платы, фирма переехала со старого адреса и теперь находится в другом городе. Сейчас устраиваюсь на работу в другую организацию по срочному трудовому договору (заменяю декретницу). Нужно ли мне увольняться со старой работы? Можно ли оформить себя без трудовой книжки? И вообще есть ли какие нибудь варианты решения этого вопроса...