Перевод совместителя на другую должность

Подскажите, пожалуйста, как правильно оформить перевод совместителя с одной должности на другую,в обной организации  на обеих должностях у него 0,5 ставки.  

Точно так же, как и перевод основного работника - допсоглашением к ТД + приказом о переводе.
Нужно ли заявление на перевод?

Нет.
Приказ на перевод - от даты написания заявления?

Как угодно, но не ранее даты заключения допсоглашения.
Доп соглашение

Да.

или новый друдовой договор?

Чтобы заключить новый ТД, нужно расторгнуть старый - т.е. уволить работника.

С даты приказа или с даты вступления в должность?

С даты достижения сторонами ТД соглашения о переводе.
Как отразить изменение обязанностей?

Если из должностных инструкций по старой и новой должностям, с которыми вы, конечно, ознакомили сотрудника под роспись, прямо не видно, что обязанности меняются - то в допсоглашении прописывайте все обязанности и компетенции работника по новой должности.

В трудовую книжку не забудьте внести запись о переводе.