Увольнение работника

Уважаемые коллеги! Подскажите пожалуйста, как поступить правильно поступить в следующей ситуации. 

Работник не приходил на работу в конце декабря, сказав по телефону, что находится на больничном.  Прийдя на работу в январе написал заявление об уходе по собственному желанию.  Заявление поступило в отдел кадров с визой руководителя " с отработкой 2 недели" , после этого работник предоставил "липовый" больничный лист (есть письмо медицинской организации, что такой б/л не выдавался)  за декабрьские дни и опять пропал.  На телефонные звонки не отвечает, прислал телеграмму с просьбой объяснить почему его не допускают на рабочее место ( на работу его естественно допускают). Что делать кадрам? За прогулы уволить - надо за просить объяснительную.  Боюсь, что он придет в последний день, когда заканчивается его срок отработки и потребует трудовую книжку. И что делать с этим " липовым" больничным?

Спасибо!