Работник не выходит на работу

Работник написал заявление по собственному с указанием даты в двухнедельный срок, Заявление не было завизированно). 

А почему вы считаете, что заявление об увольнении, на котором работодатель по какой-то причине не поставил визу (а должен был?) не имеет правовых последствий?

Работодатель хочет уволить его по статье (прогулы), как это все грамотно оформить?

Не успеет. Для соблюдения процедуры увольнения нужно достоверно установить неуважительность причины отсутствия, предложить работнику дать объяснения, выдержать срок, в течение которого работник имеет право такие объяснения дать - а у вас работника нету под рукой. Ну и плюс - если уволите, а работник потом предоставит доказательства уважительности причины отсутствия, то вам еще по суду придется ему средний заработок за время вынужденного прогула и моральный вред платить, новую дату и причину увольнения в трудовую вносить (если он не захочет восстановиться на работе).

Я думаю направить письмо с уведомлением по адресу прописки работника с просьбой объяснить неявку на работу, составить акт об отсутствии работника на рабочем месте, и взять докладную с начальника подразделения об отсутствии работника на работе по невыясненым причинам.

Направляйте, составляйте, но уволите вы его все равно по собственному желанию, а не за прогул, как только две недели истекут.