Первый день отпуска выпал на праздничный день

 С 6 ноября я должен уйти в отпуск на 14 дней. Дата выхода 20-е ноября.

Уходите.

Но 6 ноября это праздничный день

С чего вдруг? Читаем ст. 112 ТК РФ, праздничный в ноябре у нас только 4.

и дата выхода должна быть 21-го, т.к. 4-е ноября переносится с субботы на понедельник.

Праздничные дни никуда не переносятся, переносятся совпавшие с ними выходные.

В офисе мне сказали, что так можно, а 6-е мне оплатят в двойном размере. Возможно ли это?

Нет. Вы будете гулять отпуск с 6 по 19, самый обычный, никаких праздников в этот период нет, никаких "двойных оплат" в период отпуска законом не предусмотрено, а у вас в офисе работают идиоты, простите.