Директор, являющийся единственным Участником, стал гражданином РФ

Само собой, ему теперь надо будет получать паспорт и делать себе регистрацию (она, видимо, будет на 5 лет).

С чего вдруг она будет на 5 лет? Обычная регистрация по месту жительства, бессрочная. 

Что нужно сделать и в какой форме? Смотрите, он в свое время получал ИНН как физ. лицо, СНИЛС и т.д. с иностранным паспортом. У него было РВП, потом ВНЖ. Во всех российских документах отчества нет (т.к. его нет в иностранном паспорте), а в российском отчество будет. Т.е. это еще и перемена ФИО как бы. То, что ему надо будет изменить свой ИНН и СНИЛС, это понятно. У меня вопросы по тем документам ООО, которые универсальны для всех. Вот список всех документов, где фигурируют его личные данные и я хотела бы узнать, что точно с этими документами нужно сделать. В смысле, КАК, в какой форме? Исправить существующий документ (типа, исправленному верить), сделать новый документ с нуля (что тогда делать со старым?), нужно ли отдельно оформлять какие то сопутствующие приказы.

Я знаю, что в Налоговой есть форма Р 14001, но к ней нужно будет, видимо, приложить все документы по фирме с внесенными изменениями? Вот список документов, где есть данные Директора и Учредителя. Скажите, пожалуйста, что надо делать в такой ситуации.

1.) Трудовая. В ней строка, где отчество не заполнена. Могу просто её заполнить (если так можно);

Можете. Рядом впишите реквизиты документа, на основании которого вы это отчество внесли (паспорт, когда он его получит).
2.) Удостоверение по охране труда. Красная корочка от сторонней фирмы. Отчества нет. Можно им позвонить, но вряд ли они будут что-то менять. Или есть варианты? Нужно ли?

Спросите в этой фирме, какой порядок внесения изменений в их удостоверение при смене имени.
3.) Есть куча документов, где есть фамилия Директора и его инициал имени (без инициала отчества). Что с ними делать?

Какие именно документы?
4.) Уведомление в ФСС об открытии р/с с печатями ООО и ФСС. Там нет отчества также;

Счет открыт обществу, не директору? Ничего не надо делать.
5.) В Уставе фигурирует ин. паспорт Участника и также без отчества. Надо писать, что Участник теперь россиянин и вписать данные российского паспорта и отчество?

А зачем вы вообще персональные данные конкретного участника вписываете в устав? Уберите их оттуда нафиг, есть список участников.
6.) Уведомление о переходе на УСН. Там у Директора также не отчества;
7.) Разные документы, связанные с регистрацией ООО (там также нет отчества и фигурирует ин. паспорт Директора). Назначение Директора, акт приема имущества в УК и др. документы;

Еще раз - там указаны актуальные на момент регистрации данные, актуализировать их при смене ФИО/данных документа, удостоверяющего личность, закон не требует.
8.) Лицевой счет (форма Т-54). Там есть место вписать отчество, если так можно?

Аналогично трудовой книжке.
9.) Регистры бух. учета за прошлые годы. В них также нет инициала отчества;

См. п. 7.
10.) ТД с Директором. В нем также данные ин. паспорта Директора и нет отчества Директора;

Можете издать приказ о внесении изменений в сведения о работнике в ТД, можете просто копию паспорта приложить. Это не условие трудового договора.
11.) Куча приказов Директора, также без его отчества;

См. п. 7

12.) Личная карточка на Директора (форма Т-2). Там отчества нет и есть только ин. гражданство Директора. Можно отчество просто вписать? А есть у Директора теперь два гражданства, так их ОБА вписать в п.4?

А что, он был таджик или туркмен? Если нет - он теперь для России только россиянин, другое его гражданство игнорируется. В остальном - см. п. 8.
13.) Есть еще выписка из ЕГРЮЛ и лист записи, но их, видимо, можно будет заново получить уже после обновления данных в Налоговой? А старые куда девать? Выбросить?

Выбросьте.